🧮 Что такое определённый интеграл?

Определённый интеграл — это площадь фигуры под графиком функции f(x) на отрезке [a, b].

Интеграл — одно из фундаментальных понятий математического анализа. Он позволяет вычислять площади, объёмы, работу переменной силы, пройденный путь при переменной скорости и многое другое.

Как это работает?

Мы разбиваем интервал [a, b] на множество маленьких отрезков, на каждом приближаем функцию прямоугольником и суммируем их площади. Чем больше прямоугольников — тем точнее результат.

Управление визуализатором

• Функция — выберите, график какой функции исследовать
• Границы a и b — пределы интегрирования (левый и правый)
• Число прямоугольников N — количество разбиений для приближения
• Показать сходимость — автоматическое увеличение N от 1 до 150

Наведите курсор на любой прямоугольник — увидите его площадь.

📈 Выбор функции

Выберите функцию, график которой хотите исследовать. Для каждой функции известно точное значение интеграла (первообразная), что позволяет сравнивать приближение с эталоном.

• f(x) = x² — парабола. Первообразная: F(x) = x³/3
• f(x) = sin(x) — синусоида. Первообразная: F(x) = −cos(x)
• f(x) = √x — квадратный корень. Первообразная: F(x) = ⅔·x^3/2
• f(x) = 1/x — гипербола. Первообразная: F(x) = ln|x|

Это формула Ньютона-Лейбница: значение определённого интеграла равно разности первообразной в точках b и a.

📏 Границы интегрирования a и b

a — нижний предел (левая граница), b — верхний предел (правая граница).

Интеграл вычисляется на отрезке [a, b]. Геометрически это площадь фигуры, ограниченной:

• сверху — графиком функции f(x)
• снизу — осью X
• слева — вертикальной прямой x = a
• справа — вертикальной прямой x = b

Если a > b, границы автоматически меняются местами. Диапазон ползунков: от −5 до 5.

Совет: для функции √x выбирайте a ≥ 0, для 1/x — a и b одного знака (иначе интеграл расходится).

▬ Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — простейший способ численного интегрирования.

Алгоритм:

1. Разбиваем отрезок [a, b] на N равных частей шириной Δx = (b − a) / N
2. На каждом отрезке строим прямоугольник высотой f(x_i), где x_i — левая граница отрезка
3. Площадь каждого прямоугольника: S_i = f(x_i) · Δx
4. Суммируем: ∫_a^b f(x) dx ≈ Σ S_i

Это метод левых прямоугольников. Погрешность уменьшается с ростом N. При N → ∞ сумма площадей прямоугольников стремится к точному значению интеграла.

Наведите курсор на любой прямоугольник — увидите его площадь S_i.

🎯 Сходимость метода

Режим «Показать сходимость» автоматически увеличивает число прямоугольников N от 1 до 150.

Наблюдайте в реальном времени:

• Ступенчатая фигура из прямоугольников всё точнее повторяет форму графика
• Значение приближённой площади приближается к точному значению
• Процент ошибки стремится к нулю

Это наглядная демонстрация сходимости численного метода — чем больше разбиений, тем точнее результат.